Topic outline

  • Einleitung

    In diesem Kurs geht es um die Simulation eines freien Falls zunächst ohne, später mit Luftreibung und schließlich unter Berücksichtigung der barometrischen Höhenformel, die in guter Näherung die Abnahme der Luftdichte mit steigender Höhe beschreibt.

    Zu diesem Zweck soll ein physikalisches Modell entwickelt werden, d.h. eine Differentialgleichung, die aus den wirkenden Kräften gemäß dem 2. Newtonschen Axiom einen mathematischen Ausdruck für die Beschleunigung bestimmt, aus der sich mittels numerischer Integration Geschwindiglkeit und Ort zu jedem Zeitpunkt berechnen lassen.

    Ziel ist die graphische Darstellung der Bewegung durch ein t-v- und t-h-Diagramm.

    • Wiederholung & Ausblick

      Kraftgesetz von Newton (2. Newtonsches Axiom)

      Kraft ist das Produkt aus Masse und Beschleunigung:

      F = m·a

      Dabei ist mit F die Summe aller auf einen Körper wirkenden Kräfte gemeint.

      Unter Berücksichtigung der Luftreibung wirkt auf einen fallenden Körper also die Kraft

      F = -FG + FLR

      mit FG = m · g   (g ist auf der Erdoberfläche in guter Näherung 9,81 m/s2; das Minuszeichen berücksichtigt, dass die Kraft entgegen der üblicherweise nach oben weisenden Koordinatenachse wirkt)

      FLR ist die Luftreibungkraft, auf die später noch eingegangen wird.

      • Die Vorgeschichte

        Ein Zeitungsbericht vom 21.9.2002 (Holsteinischer Courier; zitiert nach www.sinus.lernnetz.de/aufgaben1/materialien/physik/sek_II/sprung.htm vom 17.5.2007):

        Franzose will Schallmauer im freien Fall durchbrechen
        Paris/Saskatoon  (dpa)

        Der 58-jährige Franzose Michel Fournier will in einem gewagten freien Fall aus 40 km Höhe als erster die Schallmauer durchbrechen und gleich vier Weltrekorde aufstellen. Sobald das Wetter es zulässt, steigt der pensionierte Oberstleutnant und Fallschirmspringer hoch über der mittelamerikanischen Prärieprovinz Saskatchewan aus seiner Ballonkapsel und stürzt sich in die Tiefe. Der zunächst für gestern geplante Sprung wurde wegen Regens auf unbestimmte Zeit verschoben.

        30 Sekunden nach dem geglückten Ausstieg aus der Kapsel würde Fournier mit einem lauten Knall wie ein Überschallflieger die Schallmauer durchbrechen - bei einer Außentemperatur von minus 93 Grad und einer Geschwindigkeit von 1062 Kilometern in der Stunde.

        "Seit 16 Jahren träume ich davon, und danach werde ich es nicht wieder erleben",sagte der mutige Fournier, während er sich in der kanadischen Saskatchewan-Stadt Saskatoon auf das einzigartige Abenteuer im Weltraum vorbereitete.

        An Erfahrung mangelt es dem Franzosen nicht. Fournier hat mehr als 8300 Fallschirmabsprünge hinter sich. 1992 stellte er mit einem Sprung aus etwa 12000 Metern Höhe seinen bisherigen persönlichen Rekord auf.

        • Vorbereitende Aufgaben

          1. Nach rund 30 Sekunden soll Fournier rund 1000 km/h schnell sein. Schätze mit geeigneten Annahmen ab, ob diese Daten annähernd korrekt sein können. Berechne, in welcher Höhe Fournier die Schallgeschwindigkeit im freien Fall erreichen kann.

          2. Die Luftreibungskraft FLR berechnet man mit der Gleichung

          FLR = 0,5·cw·A·ρ·v².

          Darin bedeuten

          cw : Luftwiderstandsbeiwert; je "windschlüpfriger" ein Körper ist, deste kleiner ist sein cw-Wert;

          A : Querschnittsfläche des Körpers quer zur Luftströmungsrichtung;

          ρ : Dichte der Luft; (Beachte: ρ = "rho", nicht p!)

          v : Geschwindigkeit des Körpers relativ zur Luft.

          Diskutiere und skizziere den prinzipellen zeitlichen Verlauf der Geschwindigkeit Fourniers unter der Annahme, dass die Luftdichte längs seines Weges konstant ist.

          3. Die Luftdichte ρ ist natürlich nicht überall gleich, sie sinkt mit wachsender Höhe h über dem Erdboden. Es gilt die barometrische Höhenformel

          ρ = 1,26 kg/m³ · e-h/8000m.

          Verfeinere entsprechend dein Ergebnis von Aufgabe 2.

          • Deine Aufgabe: Modellbildung mit dem Computer

            Lies die Präsentation über Modellbildung/numerische Integration und versuch die Grundprinzipien zu verstehen.

            Erstelle durch die Anwendung dieser Prinzipien ein Computerprogramm, das den freien Fall unter Berücksichtigung der Luftreibung und der barometrischen Höhenformel simuliert.

            Fang zunächst klein an, d.h ohne Luftreibung, also F = -FG = -m · g. Ergibt sich die erwartete Parabel?

            Die Modellbildung kannst du mit beliebiger Programmiersprache/ Programmierumgebung oder sogar mit einem Tabellenkalkulationsprogramm durchführen.

            Ziel ist die vollständige Beschreibung der Bewegung in Form eines t-v- und t-h-Diagramms.

          • Die Nachgeschichte

            Internetrecherche

            Informiere dich über den "Jahrhundertsprung" von Felix Baumgartner und vergleiche die Informationen mit den Ergebnissen deiner Modellbildung.

            • Abgabe der Lösung

              Im deinem Kursraum EFPh kannst du bis zu drei Dateien als Lösung einreichen.

              Deine Lösung besteht im Idealfall

              • aus einem detaillierten "Praktikumsbericht", der Entwicklungsschritte, physikalische Überlegungen und Kommentare zu Hürden und Problemen enthält,
              • einem lauffähigen Programm, das ein t-h- und ein t-v-Diagramm berechnet, das möglichst präzise die Verhältnisse beim freien Fall mit Luftreibung unter Berücksichtigung höhenabhängiger Luftdichte wiedergibt
              • und einer pdf-Datei, in die du die Diagramme "gedruckt" hast.

              (Wenn du noch Zeit hast: Spendierst du dem Springer einen Fallschirm? Welche Bedingung für das Öffnen wäre sinnvoll?)

            • ... und damit nicht genug!

              Lies den Zeitungsartikel und wundere dich über die Menschheit. ;-)

              In dem Artikel findest du folgenden Satz:

              "Nach Berechnung der amerikanischen Schusswaffenlobby NRA ..."

              Durch leichte Modifikationen in deinem Programm solltest du in der Lage sein, die in diesem Satz angebene Endgeschwindigkeit zu bestätigen.

            • Wem gehört dieser Kurs?